Filtry aktywne – część 10

W poprzedniej części zajmowaliśmy się standardowymi filtrami środkowoprzepustowymi. W tym odcinku zajmiemy się również filtrami środkowoprzepustowymi, ale o dużej dobroci.

Także i ten odcinek zawiera gotowe, proste recepty. Zaprezentowany przykład pokazuje zadziwiające możliwości proponowanego filtru. Aby w pełni skorzystać z podanego materiału, konieczne jest przyswojenie sobie informacji ze wszystkich odcinków wstępnych, począwszy od pierwszego artykułu cyklu.

Filtr pasmowy o dużej dobroci

Filtr z rysunku 1 z poprzedniej części umożliwia uzyskanie dobroci co najwyżej 10. Dobroć równa 10 to wprawdzie duże osiągnięcie, ale czasem potrzebny jest filtr o jeszcze węższym paśmie. Jeśli dobroć ma wynosić 10…50, możesz wykorzystać filtr z dwoma wzmacniaczami operacyjnymi z rysunku 1.

Na pewno widzisz podobieństwo do poprzednio omawianego pojedynczego filtru. Drugi wzmacniacz operacyjny zwiększa możliwości układu, na przykład pozwala uzyskać dużą dobroć. Także i w tym układzie możliwe są bardzo różne kombinacje wartości elementów. Ja przedstawię Ci bardzo interesującą wersję tego układu. Jest ona przydatna w praktyce ze względu na niecodzienny sposób doboru wartości elementów.

Schemat ideowy proponowanego filtru pokazany jest na rysunku 2.

W roli R6 (spójrz na rysunek 1) stosujemy dwa jednakowe rezystory. W tej wersji wzmocnienie drugiego stopnia wzmacniacza odwracającego jest równe 2. Dzięki temu prawie wszystkie zastosowane rezystory mają jednakową wartość. Oczywiście powinny to być powszechnie stosowane, metalizowane rezystory o tolerancji 1%. Potencjometry montażowe powinny mieć dobrą stabilność. Nie nadają się tu popularne węglowe PR−ki. Trzeba zastosować potencjometry cermetowe, najlepiej tak zwane helitrimy.

Procedura projektowania jest następująca: Mamy dane:
częstotliwość środkową fs
dobroć Q.

Wzmocnienie może być i będzie większe od jedności, jednak tym razem wzmocnienie zależy od dobroci − obliczymy, jakie będzie.

Najpierw, znając częstotliwość środkową, jak zwykle dobierzesz (jednakowe) pojemności C1, C2, korzystając ze wzoru:
C [nF] = 10000 [nFHz] / f [Hz]

Jak zawsze, zdecydujesz się na najbliższą wartość z szeregu E6. Oba kondensatory będą jednakowe: C=C1=C2.

Obliczasz reaktancję wybranego kondensatora przy częstotliwości środkowej:

W tym bardziej złożonym filtrze do obliczeń nie wykorzystamy docelowej wartości Q − zamiast niej potrzebny będzie parametr pomocniczy − pierwiastek kwadratowy z dobroci.
Oznaczmy go P
P = √Q
Teraz już z łatwością obliczysz wartości rezystorów z prostych wzorów:
R = X_c × P
PR2 = R / (2P−1)
R3 = Rs + PR1 = R / (Q − 2)

Zwróć uwagę, że w dwóch ostatnich wzorach nie wykorzystywaliśmy wartości X_c, tylko obliczoną z wcześniejszego wzoru wartość R − tak jest łatwiej.

Jak wskazuje schemat (rysunek 2), w roli PR2 można zastosować potencjometr montażowy. W praktyce jego wartość nominalna powinna być 30…50% większa od rezystancji obliczonej ze wzoru − wtedy suwak będzie ustawiony w 1/2…3/4 drogi. Można też śmiało zastosować rezystor stały o wartości wyliczonej ze wzoru (i tolerancji 1…5%). Wiedz, że zmiana wartości PR2 wpływa na dobroć − obowiązuje tu ciekawa zależność − czym większa rezystancja PR2, tym mniejsza dobroć. Jeśli natomiast rezystancja PR2 jest bliska zeru, dobroć jest bardzo duża. Nie przesadź jednak ze zmniejszaniem rezystancji PR2 i nie zrób z filtru generatora.

Wartość R3 decyduje o częstotliwości środkowej filtru. Zastosowanie potencjometru montażowego PR1 pozwoli dokładnie ustawić potrzebną częstotliwość środkową i skorygować odchyłki wynikające z tolerancji kondensatorów. W tym obwodzie nie radzę stosować rezystora stałego o wartości wyliczonej ze wzoru − przy dużej dobroci i nieuniknionym rozrzucie pojemności powinieneś koniecznie dostroić filtr do potrzebnej częstotliwości. W większości wypadków po obliczeniu ze wzoru wypadkowej rezystancji R3 możesz zastosować Rs i PR1 o mniej więcej jednakowych wartościach:
Rs = (0,6…0,7) × R3
PR1 = (0,6…0,7) × R3

Wtedy potencjometr po regulacji będzie ustawiony mniej więcej w połowie drogi suwaka.

Co ciekawe, zmiana dobroci przez zmianę wartości PR2 praktycznie nie wpływa na częstotliwość środkową. Podobnie korekcja częstotliwości za pomocą PR1 praktycznie nie wpływa na dobroć. To są bardzo dobre cechy tego filtru.

Przypominam, że tym razem we wzorach nie wykorzystywaliśmy wzmocnienia G. Aby uprościć układ, zastosowaliśmy jednakowe rezystory R, a wtedy wzmocnienie zależy od dobroci. Wynosi ono:
G = 2×P = 2×√Q

W praktyce okazuje się, iż wzmocnienie nie jest duże; przykładowo dla dobroci Q=50 wynosi tylko 14,15× (23 dB), a dla dobroci Q=10 jedynie 6,32× (16 dB).

Podczas symulacji komputerowej okazało się, że przy częstotliwościach do 1 kHz z popularnymi wzmacniaczami (np. TL082) można byłoby uzyskać w takim filtrze zawrotną wartość dobroci rzędu 1000, czyli pasmo przenoszenia około 1 Hz, a nawet mniej. Teoretycznie, stosując filtr z rysunku 1 (lub 2) można uzyskać niesamowicie wąskie pasmo. Przykład masz na rysunku 3. Wykres pokazuje w dużym powiększeniu, że przy częstotliwości środkowej 1 kHz pasmo przenoszenia ma szerokość tylko 1,6 Hz, czyli dobroć wynosi aż 625.

Rewelacja? W praktyce filtrów aktywnych RC o tak wąskim paśmie się nie stosuje. Sensowną górną granicą wydaje się dobroć równa 100, a nawet 50. Warto pamiętać, że czym większa dobroć, tym dłużej „dzwoni“ filtr po zaniku sygnału użytecznego na wejściu. Poważnym ograniczeniem jest też groźba, że przy zmianach parametrów elementów pod wpływem temperatury filtr stanie się generatorem. Nie zapominaj, że temperatura wpływa na wartość pojemności i rezystancji, a więc właściwości filtru, w tym skłonność do samowzbudzenia oraz częstotliwość środkowa, będzie zmieniać się z temperaturą. Współczynnik cieplny kondensatorów poliestrowych wynosi ponad 100 ppm/K, rezystorów 1−procentowych jest rzędu 50…100 ppm/K, a zwykłych rezystorów 5−procentowych może sięgać 1000 ppm/K lub nawet więcej. W skrajnie niekorzystnym przypadku, nawet z rezystorami 1−procentowymi, częstotliwość może się „rozjechać“ pod wpływem temperatury o prawie 1%, czyli wyjść daleko poza założone granice. O 5−procentowych rezystorach węglowych nie warto nawet wspominać…

Kiedyś dawno przeprowadzałem stosowne próby z filtrem zawierającym kondensatory MKSE020 i z dobrymi rezystorami metalizowanymi. Okazało się, że przy zmianach temperatury o 25°C zmiana częstotliwości środkowej była rzędu 0,5%. Takie przesunięcie przekreśla sens budowy filtru o dobroci powyżej 100, bo pasmo „ucieknie“ pod wpływem zmian temperatury poza żądany zakres.

Przykład

Chcemy w pewnym urządzeniu kontrolno−sterującym wykorzystać filtr reagujący na sygnały o częstotliwości 5 kHz±100 Hz. Pasmo przepustowe będzie mieć szerokość 200 Hz, czyli dobroć wyniesie 25. Zastosujemy układ według rysunku 2.

Najpierw dobieramy jednakowe pojemności C1, C2, korzystając ze wzoru:
C [nF] = 10000 [nFHz] / 5000 [Hz]
Przyjmujemy: C=C1=C2=2,2 nF

Obliczamy reaktancję wybranego kondensatora przy częstotliwości granicznej:
X_c [kΩ] = 160000 / 5000 [Hz] × 2,2 [nF]     X_c = 14,55 kΩ

Obliczamy parametr pomocniczy − pierwiastek kwadratowy z dobroci: P = √25 = 5

Następnie wartości rezystancji z podanych wzorów:
R = 14,55 × 5= 72,75 kΩ
PR2 = 72,75 / (2 × 5 − 1) = 72,75 / 9 = 8,08 kΩ
R3 = Rs + PR1 = 72,75 / (25 − 2) = 72,75 / 23 = 3,16 kΩ

Zgodnie z wcześniejszymi wskazówkami zastosujemy następujące elementy:
R = 73,2 kΩ 1%
PR2 = 10 kΩ helitrim
Rs = 2,26 kΩ 1%
PR1 = 2,2 kΩ helitrim
C1, C2 = 2,2nF MKT

Wzmocnienie filtru wyniesie G= 2 × 5 = 10 czyli 20 dB.
Układ i charakterystyki z obliczonymi wartościami elementów (R3 = 3,16 kΩ, PR2 = 8,08 kΩ) pokazane są na rysunku 4.

Jak widać, uzyskana częstotliwość środkowa, równa 4,937 kHz wymaga skorygowania przez niewielką zmianę PR1 (teoretycznie do 3,07 kΩ), natomiast 3−decybelowe pasmo przenoszenia wynoszące więcej niż 195 Hz spełnia postawione warunki.

Jak już niejednokrotnie wspominałem, przy projektowaniu filtrów o dużej dobroci trzeba uwzględnić skłonność do „dzwonienia” oraz kwestię stabilności cieplnej i długoczasowej. W niektórych przypadkach okaże się, że zamiast jednego ogniwa filtru o dużej dobroci trzeba zastosować połączone w szereg dwa albo trzy ogniwa o znacznie mniejszej dobroci, o przesuniętych częstotliwościach środkowych – rysunek 5.

Charakterystyka pokazana jest na rysunku 6, gdzie niebieska linia pokazuje wypadkową charakterystykę dwóch filtrów o rozsuniętych częstotliwościach środkowych i znacznej dobroci. Dla porównania czerwoną linią zaznaczono charakterystykę filtru z rysunku 4.

Połączenie dwóch filtrów daje dużą większą stromość poza pasmem przepustowym.

Duże rozsunięcie częstotliwości powoduje powstanie „siodła” w charakterystyce, niemniej postawione warunki są spełnione, a tłumienie „obcych” sygnałów jest wręcz rewelacyjne. Aby opracować taki wynalazek, trzeba nie tylko skorzystać z programu do symulacji komputerowej i dobrać potrzebną charakterystykę, dobierając eksperymentalnie wartości PR1 i PR2 w obu stopniach filtru. Trudniejszym problemem będzie praktyczne zestrojenie modelu − niezbędny będzie do tego albo wobulator, albo przynajmniej płynnie przestrajany generator częstościomierz i oscyloskop.

I tyle o filtrach pasmowych.

Piotr Górecki